70 BAI BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Nguyễn Dịnh
Ngày gửi: 11h:52' 30-09-2013
Dung lượng: 299.8 KB
Số lượt tải: 35
Số lượt thích: 0 người

BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

Bài 1: (ĐHSP TPHCM 1999)
Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức: 

Bài giải
 (0 ≤ k ≤ 12, k ( N)
( 
( 
( (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k)
( k2 – 12k + 32 = 0 ( k = 4 hoặc k = 8
Vậy: k = 4 hoặc k = 8
Bài 2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999)
Tính tổng:  trong đó  là số tổ hợp chập k của n phần tử.


Bài giải
S = 
=  =  = 386.
Bài 3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)
Tìm các số nguyên dương x thoả: 


Bài giải
 (x ( N, x ≥ 3)
( x + 3x2 – 3x + x3 – 3x2 + 2x = 9x2 – 14x
( x(x2 – 9x + 14) = 0 (  Vậy: x = 7
Bài 4. (ĐH Bách khoa HN 1999)
Tính tổng: S = 
trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 2.


Bài giải
S =  (n > 2)
Xét đa thức p(x) = (1 – x)n. Khai triển theo công thức Newton ta được:
p(x) = (1 – x)n = 
Suy ra: – p((x) = n(1 – x)n–1 = 
Cho x = 1 ta được: 0 = 
=  = S
Vậy: S = 0
Bài 5. (ĐHQG HN khối A 2000)
Chứng minh rằng: 
(trong đó k nguyên, 0 ≤ k ≤ 2000)


Bài giải
Ta sẽ chứng tỏ:

Thật vậy, chỉ cần chứng tỏ:  (1) với (k = 0, 1, 2, …, 999.
Ta có: (1) ( 
( (k + 1) < 2001 – k
( 2k < 2000 ( k < 1000 đúng vì k = 0, 1, 2, …, 999.
Vì vậy: ,(k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức ( )
và: , (k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức ( )
(  (đẳng thức ( k = 1000)
Bài 6. (ĐHQG HN khối B 2000)
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau:
, x ≠ 0


Bài giải
Số hạng tổng quát của khai triển là:
 (k ( N, 0 ≤ k ≤ 17)
Để số hạng không chứa x thì  ( k = 8
Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 9 của khai triển và bằng .
Bài 7. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000)
Giải bất phương trình: 


Bài giải
Điều kiện: 
Ta có: 
( .2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ 
( x2 ≤ x2 – 3x + 12 ( x ≤ 4
Kết hợp điều kiện, ta được: x = 3, x = 4.
Bài 8. (ĐHSP HN khối A 2000)
Trong khai triển nhị thức , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết rằng 


Bài giải
* Xác định n:  ( 1 + n +  = 79
( 
* Ta có:  = 
Số hạng không phụ thuộc x (  ( k = 7.
Vậy số hạng cần tìm là:  = 792
Bài 9. (ĐHSP HN khối BD 2000)
Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó.


Bài giải
Ta có: (x2 + 1)n =  (1)
Số k ứng với số hạng ax12 thoả mãn pt: x12 = x2k ( k = 6.
Trong (1) cho x = 1 thì  = 2n
Từ giả thiết